Na última aula, falamos brevemente sobre a Teoria da Relatividade, em diálogo com os tópicos de Análise Real abordados. Isto me fez lembrar de um número especial da Revista Brasileira de História da Matemática, de 2005, em homenagem ao Centenário da Relatividade Especial. Nesse caso, 2005 foi reconhecido como Ano Internacional da Física e marcou as comemorações de três eventos que estão intimamente relacionados:

Evento 1: Centenário do Annus Mirabilis de Albert Einstein. A expressão latina Annus mirabilis significa ano miraculoso e é usada para fazer referência a ocasiões em que houve grande desenvolvimento científico ou a uma série de eventos significativos. Inicialmente, o termo foi usado para se referir a 1666, quando Isaac Newton fez grandes invenções relacionadas ao cálculo, movimento, ótica e gravitação, mas depois estendeu-se a outros anos. Assim, 1905 é o annus mirabilis no domínio da Física, pois é o ano em que Albert Einstein publicou suas descobertas sobre o efeito fotoelétrico, movimento Browniano e a teoria especial da relatividade, além da famosa equação E = mc².

Evento 2: Os sessenta anos do lançamento das bombas atômicas sobre Hiroshima e Nagasaki. Realizados pelos Estados Unidos contra o Império do Japão durante os estágios finais da Segunda Guerra Mundial, em agosto de 1945, os bombardeamentos foram o primeiro e único momento na história em que armas nucleares foram usadas em guerra e contra alvos civis. Nos primeiros quatro meses após os ataques atômicos, os efeitos agudos das explosões mataram entre 150 mil e 246 mil pessoas em Hiroshima e  Nagasaki; cerca de metade das mortes em cada cidade ocorreu no primeiro dia.

Evento 3: Os cinqüenta anos das Conferências Pugwash sobre Ciência e Negócios Mundiais.  O Movimento Pugwash foi uma organização internacional que congregou professores e personalidades públicas a fim de reduzir a ameaça de conflitos armados e procurar soluções para a segurança global (ainda existe, confere aqui!). Foi fundada após a publicação do Manifesto Russell-Einstein, em 1955. Neste documento citado, Bertrand Russell e Albert Einstein alertavam para os perigos da proliferação de armamento nuclear e solicitavam para que os líderes mundiais buscassem soluções pacíficas para os conflitos internacionais.

O número especial da RBHM é realmente muito interessante, pois todas as publicações trazem questões relevantes sobre a História da Matemática e da Física. Por exemplo, no artigo “Albert Einstein e sua atuação para a Paz“, nosso querido Ubiratan D’Ambrosio comenta os esses três eventos enumerados acima e seus reflexos no mundo atual, tendo como elemento de ligação a figura de Albert Einstein, o grande cientista, politicamente comprometido e essencialmente humanista. D’Ambrosio, inclusive, atuou no Conselho Pugwash de 1985 a 1995, em dois mandatos. A temática da paz e Educação Matemática foi explorada também em outro célebre artigo do Prof Ubi, intitulado “Sociedade, cultura, matemática e seu ensino“. Leituras recomendadíssimas!

Nas aulas 24 e 25, tratamos da representação posicional dos números reais. Vimos como escrever números em diferentes bases, a partir do que chamamos hoje de escrita polinomial. Com isso, fiquei curioso para entender melhor o estabelecimento do sistema decimal e, assim, fizemos este post.

Antes de tudo, é importante lembrar que a transição da Renascença para o mundo moderno também se fez por meio de um grande número de matemáticos. Dentre eles, há alguns que contribuíram para o surgimento das frações decimais e, consequentemente, dos números decimais. Simon Stevin, por exemplo, deu o primeiro tratamento sistemático às frações decimais, ele se dispôs a explicar o sistema de modo elementar e completo. Ele queria ensinar como efetuar, com mais facilidade, as computações por meio de inteiros sem frações.

No livro La Disme (1585), Stevin descreveu em termos expressivos as vantagens, não só das frações decimais, mas também da divisão decimal dos sistemas de peso e medidas. Nesse livro (olha ele aqui), eram explicadas as frações decimais, a notação para as representações decimais, regras para as operações aritméticas e suas justificativas. Curiosamente, em vez das palavras décimos, centésimos, etc., o matemático adotava os termos primo, segundo, etc. Dessa forma, por exemplo, o número 8,937 era escrito como 8₍₀₎ 9₍₁₎ 3₍₂₎ 7₍₃₎ e sua leitura era 8 comunzos, 9 primeira 3 segunda 7 terceira, e, analogamente, este número escrito na forma das frações decimais 8 9/10 3/100 7/1000.

Os pesquisadores paraenses Rosineide de Sousa Jucá e Pedro Franco de Sá mostraram como o uso das frações foi sendo substituído pelo uso dos números decimais. Eles consideram o cálculo trabalhoso com as frações sexagesimais, sua substituição pelas frações decimais e, depois, pelos números decimais. Dessa forma, no artigo “Alguns aspectos históricos dos números decimais“, os pesquisadores observam que os números decimais surgiram como uma forma de substituir os cálculos com frações, mas no contexto escolar eles aparecem após o tópico de frações de forma desconectada, como se não tivessem nenhuma relação com as mesmas. Jucá e Sá ainda mostra que Stevin, em seus cálculos, realiza as operações com os números decimais como se fossem naturais e somente no final dá a eles um tratamento decimal, estabelecendo as casas decimais, o que se repete até os dias de hoje.

Quando falamos de números racionais, tema das aulas 13, 14 e 15, usamos frequentemente o termo avo, que aparece na designação das frações a partir do um onze avos, não tem até hoje uma explicação na história da matemática.

Numa busca em dicionários e enciclopédias, Eduardo Sebastiani Ferreira constatou que o termo veio da palavra oitavo. Somente no espanhol, que o adotou como sufixo, e no português, que o emprega como palavra na designação de frações cujos denominadores são maiores que dez, é feito uso desse termo.

A hipótese de Ferreira, sustentada no trabalho “Onze Avos, Doze Avos, … De onde vem este termo Avo?“, é que o avo deriva do harmônico pitagórico oitava – em grego, diapason -, que chegou à Espanha pelos árabes e foi latinizado, chegando, também, a Portugal. Foram somente esses dois países que o adotaram para designar a parte fracionária a partir do décimo. “Tenho que continuar com esta pesquisa, apesar de toda minha convicção, pois ainda faltam todos os manuscritos que estão principalmente nas bibliotecas de Évora e da Universidade de Toledo”, ressalta o pesquisador.

Geralmente, considera-se que o ‘zero’ originou em duas culturas geograficamente separadas: Maia e Índia. Porém, se zero significa somente uma magnitude ou um separador de direção (por exemplo, separando os que estão acima dos que estão abaixo do nível zero), o zero egípcio, datado de pelo menos quatro mil anos, serviram estes propósitos amplamente.

Pensem comigo: se zero fosse somente um símbolo para a propriedade de lugar, indicando a ausência de uma quantidade em uma posição de lugar especificada, então zero estava presente no sistema de número de posicional babilônico antes da primeira ocorrência registrada do zero hindu. Certo? Por outro lado, se zero fosse representado por só um espaço vazio dentro de um sistema de número de posicional bem definido, tal zero estava presente na matemática chinesa alguns séculos antes do começo da nossa era. E aí? A cultura hindu, em tempos remotos, mostrou interesse e fascinação plena por números grandes e não há nenhuma evidência contrária para indicar que isto não era assim nas culturas maias. O direcionamento dado no ocidente para a disseminação do zero hindu, como parte integrante dos numerais hindus, é um dos episódios mais notáveis na história de matemática e a história é famosa.

Dado que tal transmissão aconteceu, os assuntos, que raramente são discutidos, incluem a extensão da qual a transferência de tal conhecimento se deu através de filtros culturais e linguísticos que operam nas diferentes culturas envolvidas e pode ter inibido a compreensão mais clara do conceito do zero hindu e as sua operações aritméticas. Os aspectos metodológicos do processo de transmissão, como também as implicações pedagógicas de um processo imperfeito de filtro integram a discussão feita pelo pesquisador indiano George Gheverghese Joseph, no artigo “The Enormity of Zero” publicado na Revista Brasileira de História da Matemática. Confira!