Análise Problematizada

Nas últimas aulas de Análise Real, abordamos as ideias de limite e continuidade, que são ensinados principalmente na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Com isso, fiz esse último post para encerrar o portifólio com as principais ideias aqui abordadas. Ou seja, o que a história dos conteúdos nos ensina quando questionamos o saber matemático, seu ensino e seus fundamentos? Assim, vamos pensar nessa questão do papel da Análise Real na formação do Educador Matemático, ainda numa perspectiva problematizada.

Quando direcionamos nosso olhar para a história da filosofia da Matemática, de Platão ao século XVIII, evidenciam-se claramente duas vertentes filosóficas: o empirismo e o racionalismo. Por todo esse período, exceto em Kant, essas correntes se posicionaram como contrárias e excludentes, ou seja, enquanto uma defendia que a base do conhecimento jaz unicamente na experiência, a outra defendia que permanece unicamente na razão.

Focalizando, principalmente, a história do desenvolvimento do cálculo, o artigo “O que a História do Desenvolvimento do Cálculo pode nos ensinar quando questionamos o Saber Matemático, seu Ensino e seus Fundamentos“, de Renata Meneghetti e Irineu Bicudo, mostrou que existe uma profunda relação entre o caminhar da filosofia da Matemática, o da história da Matemática, o da própria Matemática e em conseqüência, o da Educação Matemática. Na verdade, esse trabalho aponta para a necessidade de se conceber filosofia, história, matemática e educação matemática como fazendo parte de um mesmo processo, influenciando-se, umas às outras, no desenvolvimento do saber – uma perspectiva muito semelhante à ideia de Matemática Problematizada, que defendemos neste blog.

Do ponto de vista educacional, o estudo de Meneghetti e Bicudo vai ao encontro de pesquisas que defendem a importância de se ter esse equilíbrio no ensino do cálculo e da Análise, como a tese de Frederico da Silva Reis, intitulada “A tensão entre rigor e intuição no ensino de Cálculo e Análise: a visão de professores pesquisadores e autores de livros didáticos“. A pesquisa, além de abordar alguns aspectos históricos e epistemológicos do Cálculo e da Análise e de seu ensino, analisa algumas categorias de saberes docentes manifestados pelos depoentes bem como a percepção que os mesmos apresentam da relação entre rigor e intuição na prática pedagógica destas disciplinas e, especialmente, no contexto da formação do professor.

Os resultados da pesquisa de Reis mostram que esta relação quase sempre é desigual e dicotômica nas abordagens dos manuais didáticos e que o conjunto de posições defendidas pelos depoentes aponta para a necessidade de um rompimento com o ensino formalista atual, tendo em vista, principalmente, a formação de um professor de matemática com multiplicidade e flexibilidade de conhecimentos específicos, pedagógicos e curriculares. Interessante a reflexão, né?

Nesta postagem, gostaria de compartilhar duas pesquisas sobre Números Irracionais desenvolvidas no Espírito Santo. Primeiro, a dissertação de Maria dos Santos Cezar, colega do Ifes de Nova Venécia, que defendeu sua pesquisa no Programa Educimat – onde fiz mestrado. Depois, a pesquisa do Geraldo Broetto, docente do Ifes de Vitória e meu ex-professor da Licenciatura em Matemática, que apresentou sua tese no Programa de Pós-Graduação em Educação da Ufes.

Na dissertação “Produções de significados matemáticos na construção dos números reais“, Maria dos Santos Cezar investigou a produção de significados matemáticos em relação aos processos de ensino e de aprendizagem da construção dos números reais até a constituição das definições de números racional, irracional e real. As ações desenvolvidas durante a pesquisa, de cunho qualitativo, foram constituídas nos moldes da pesquisa-ação e procuraram desenvolver reflexões, discussões e intervenções, tanto por parte dos pesquisadores quanto por parte dos sujeitos da pesquisa.

A pesquisa de mestrado teve a pretensão de intervir e levar à reflexão a respeito de paradigmas existentes nos processos de ensino e de aprendizagem da construção dos números reais, mais especificamente na formação inicial do professor de Matemática. Essa proposta incide no fato de buscarmos que professores e futuros professores de Matemática pensem de forma reflexiva sobre sua prática pedagógica, no seu cotidiano escolar, seja como professor ou como aluno de Licenciatura em Matemática. O desenvolvimento e os resultados dessa pesquisa proporcionaram a construção de um produto educacional: uma oficina, direcionada à formação inicial e continuada de professores de Matemática, que descreve o processo de construção dos campos racional, irracional e real até a constituição de suas definições.

Já a tese “O ensino de números irracionais para alunos ingressantes na licenciatura em matemática“, Geraldo Cláudio Broetto realizou uma pesquisa em Educação Matemática, de natureza qualitativa e com intervenção em sala de aula. O objetivo deste trabalho de doutorado foi diagnosticar as imagens conceituais de números racionais e irracionais trazidas por licenciandos ingressantes na matemática, bem como analisar as movimentações dessas imagens ao longo da pesquisa. Os dados foram coletados em uma turma de ingressantes na licenciatura em matemática do Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes – Campus Vitória, durante o ano de 2014.

O quadro teórico da tese compreendeu a imagem do conceito (de David Tall e Shlomo Vinner), compreensão instrumental e relacional (de Richard Skemp), exemplos protótipos e associações com atributos relevantes e irrelevantes (de Rina Hershkowitz). A análise dos dados apontou à precariedade dos conhecimentos relacionados a números irracionais dos alunos ingressantes, com predominância de exemplos protótipos e de uma compreensão – quando muito – instrumental do assunto. Em contrapartida, a intervenção pedagógica mostrou-se capaz de desequilibrar cognitivamente os licenciandos, além de contribuir para a conscientização acerca de seus próprios conhecimentos e limitações. A tese ainda gerou o livro “Números irracionais: para professores (e futuros professores) de matemática: uma abordagem voltada à sala de aula“.

As aulas 16, 17 e 18 trataram dos reais, evidenciando a contribuição dos irracionais na completude de R. Uma proposta de abordar esse conteúdo na Educação Básica é apresentada pelo Projeto Matemática Multimídia, repositório com mais de 300 recursos educacionais de Matemática para o Ensino Médio. No vídeo abaixo, um jovem procura um desenhista de móveis e lhe propõe o seguinte problema: sua esposa tem uma mesa de 1 metro quadrado e quer aumentá-la para 2 metros quadrados. João, o desenhista lhe apresenta soluções. Confira:

Como você pode ver, este vídeo apresenta os números irracionais de uma maneira curiosa, através do desenho de uma mesa quadrada. Ele aborda também uma parte da história da Matemática Grega. Apresenta uma demonstração simples de um fato, que √2 não é um número racional por Redução ao Absurdo, que não é muito comum no ensino médio.

>>Aqui<< você pode baixar o vídeo e o seu respectivo Guia do Professor com alguns aprofundamentos de conteúdo e sugestões de atividades que podem ser utilizadas antes ou depois a exibição do vídeo.