Nas últimas aulas de Análise Real, abordamos as ideias de limite e continuidade, que são ensinados principalmente na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Com isso, fiz esse último post para encerrar o portifólio com as principais ideias aqui abordadas. Ou seja, o que a história dos conteúdos nos ensina quando questionamos o saber matemático, seu ensino e seus fundamentos? Assim, vamos pensar nessa questão do papel da Análise Real na formação do Educador Matemático, ainda numa perspectiva problematizada.

Quando direcionamos nosso olhar para a história da filosofia da Matemática, de Platão ao século XVIII, evidenciam-se claramente duas vertentes filosóficas: o empirismo e o racionalismo. Por todo esse período, exceto em Kant, essas correntes se posicionaram como contrárias e excludentes, ou seja, enquanto uma defendia que a base do conhecimento jaz unicamente na experiência, a outra defendia que permanece unicamente na razão.

Focalizando, principalmente, a história do desenvolvimento do cálculo, o artigo “O que a História do Desenvolvimento do Cálculo pode nos ensinar quando questionamos o Saber Matemático, seu Ensino e seus Fundamentos“, de Renata Meneghetti e Irineu Bicudo, mostrou que existe uma profunda relação entre o caminhar da filosofia da Matemática, o da história da Matemática, o da própria Matemática e em conseqüência, o da Educação Matemática. Na verdade, esse trabalho aponta para a necessidade de se conceber filosofia, história, matemática e educação matemática como fazendo parte de um mesmo processo, influenciando-se, umas às outras, no desenvolvimento do saber – uma perspectiva muito semelhante à ideia de Matemática Problematizada, que defendemos neste blog.

Do ponto de vista educacional, o estudo de Meneghetti e Bicudo vai ao encontro de pesquisas que defendem a importância de se ter esse equilíbrio no ensino do cálculo e da Análise, como a tese de Frederico da Silva Reis, intitulada “A tensão entre rigor e intuição no ensino de Cálculo e Análise: a visão de professores pesquisadores e autores de livros didáticos“. A pesquisa, além de abordar alguns aspectos históricos e epistemológicos do Cálculo e da Análise e de seu ensino, analisa algumas categorias de saberes docentes manifestados pelos depoentes bem como a percepção que os mesmos apresentam da relação entre rigor e intuição na prática pedagógica destas disciplinas e, especialmente, no contexto da formação do professor.

Os resultados da pesquisa de Reis mostram que esta relação quase sempre é desigual e dicotômica nas abordagens dos manuais didáticos e que o conjunto de posições defendidas pelos depoentes aponta para a necessidade de um rompimento com o ensino formalista atual, tendo em vista, principalmente, a formação de um professor de matemática com multiplicidade e flexibilidade de conhecimentos específicos, pedagógicos e curriculares. Interessante a reflexão, né?

Nesta postagem, gostaria de compartilhar duas pesquisas sobre Números Irracionais desenvolvidas no Espírito Santo. Primeiro, a dissertação de Maria dos Santos Cezar, colega do Ifes de Nova Venécia, que defendeu sua pesquisa no Programa Educimat – onde fiz mestrado. Depois, a pesquisa do Geraldo Broetto, docente do Ifes de Vitória e meu ex-professor da Licenciatura em Matemática, que apresentou sua tese no Programa de Pós-Graduação em Educação da Ufes.

Na dissertação “Produções de significados matemáticos na construção dos números reais“, Maria dos Santos Cezar investigou a produção de significados matemáticos em relação aos processos de ensino e de aprendizagem da construção dos números reais até a constituição das definições de números racional, irracional e real. As ações desenvolvidas durante a pesquisa, de cunho qualitativo, foram constituídas nos moldes da pesquisa-ação e procuraram desenvolver reflexões, discussões e intervenções, tanto por parte dos pesquisadores quanto por parte dos sujeitos da pesquisa.

A pesquisa de mestrado teve a pretensão de intervir e levar à reflexão a respeito de paradigmas existentes nos processos de ensino e de aprendizagem da construção dos números reais, mais especificamente na formação inicial do professor de Matemática. Essa proposta incide no fato de buscarmos que professores e futuros professores de Matemática pensem de forma reflexiva sobre sua prática pedagógica, no seu cotidiano escolar, seja como professor ou como aluno de Licenciatura em Matemática. O desenvolvimento e os resultados dessa pesquisa proporcionaram a construção de um produto educacional: uma oficina, direcionada à formação inicial e continuada de professores de Matemática, que descreve o processo de construção dos campos racional, irracional e real até a constituição de suas definições.

Já a tese “O ensino de números irracionais para alunos ingressantes na licenciatura em matemática“, Geraldo Cláudio Broetto realizou uma pesquisa em Educação Matemática, de natureza qualitativa e com intervenção em sala de aula. O objetivo deste trabalho de doutorado foi diagnosticar as imagens conceituais de números racionais e irracionais trazidas por licenciandos ingressantes na matemática, bem como analisar as movimentações dessas imagens ao longo da pesquisa. Os dados foram coletados em uma turma de ingressantes na licenciatura em matemática do Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes – Campus Vitória, durante o ano de 2014.

O quadro teórico da tese compreendeu a imagem do conceito (de David Tall e Shlomo Vinner), compreensão instrumental e relacional (de Richard Skemp), exemplos protótipos e associações com atributos relevantes e irrelevantes (de Rina Hershkowitz). A análise dos dados apontou à precariedade dos conhecimentos relacionados a números irracionais dos alunos ingressantes, com predominância de exemplos protótipos e de uma compreensão – quando muito – instrumental do assunto. Em contrapartida, a intervenção pedagógica mostrou-se capaz de desequilibrar cognitivamente os licenciandos, além de contribuir para a conscientização acerca de seus próprios conhecimentos e limitações. A tese ainda gerou o livro “Números irracionais: para professores (e futuros professores) de matemática: uma abordagem voltada à sala de aula“.

As aulas 16, 17 e 18 trataram dos reais, evidenciando a contribuição dos irracionais na completude de R. Uma proposta de abordar esse conteúdo na Educação Básica é apresentada pelo Projeto Matemática Multimídia, repositório com mais de 300 recursos educacionais de Matemática para o Ensino Médio. No vídeo abaixo, um jovem procura um desenhista de móveis e lhe propõe o seguinte problema: sua esposa tem uma mesa de 1 metro quadrado e quer aumentá-la para 2 metros quadrados. João, o desenhista lhe apresenta soluções. Confira:

Como você pode ver, este vídeo apresenta os números irracionais de uma maneira curiosa, através do desenho de uma mesa quadrada. Ele aborda também uma parte da história da Matemática Grega. Apresenta uma demonstração simples de um fato, que √2 não é um número racional por Redução ao Absurdo, que não é muito comum no ensino médio.

>>Aqui<< você pode baixar o vídeo e o seu respectivo Guia do Professor com alguns aprofundamentos de conteúdo e sugestões de atividades que podem ser utilizadas antes ou depois a exibição do vídeo.

Logo na primeira aula de Análise Real, o Professor Giraldo apresentou o plano da disciplina e mencionou alguns livros que poderiam ajudar a estudar os conteúdos do curso. Daí, transformamos essas dicas em um post (se não lembrar, clique aqui). Na próxima aula, vamos iniciar uma nova fase da disciplina, saindo dos números naturais e indo para os inteiros. Com isso, temos mais uma dica de livro pra você:

 

Livro do Professor de Matemática da Educação Básica – Volume 2 – Números Inteiros

Para falar dos números inteiros, os autores resgatam o significado da matemática elementar para o alemão Felix Klein. Assim, os tópicos apresentados no livro expõem a origem dos números inteiros, as relações de equivalência, a construção de números inteiros e estruturas algébricas, a ideia de infinito negativo e as operações envolvendo números negativos. A publicação, portanto, é ideal para os professores que procuraram um guia sobre a matemática para o ensino e o conhecimento pedagógico de conteúdo. Para adquirir um exemplar, clique aqui.

As aulas 07 e 08 trataram de cardinalidades e uma proposta de abordar esse tema na Educação Básica é apresentada pelo Projeto Matemática Multimídia, um conjunto com mais de 300 recursos educacionais de Matemática para o Ensino Médio. O vídeo abaixo mostra a conversa do matemático George Cantor com seu amigo Lukas Zweig. Cantor muito animado com sua nova descoberta explica ao amigo o seu hoje famoso Método da Diagonal para demonstrar um fato até então impensável: que existem infinitos maiores do que outros!

O vídeo aborda os conceitos de conjuntos infinitos e cardinalidade. Mais precisamente, o vídeo mostra como se pode contar (ou não contar) os elementos de um conjunto infinito. A demonstração de que o conjunto dos números reais não é enumerável pelo Método da Diagonal de Cantor é o tour de force da Teoria dos conjuntos infinitos a qual os alunos podem apreciar já que o argumento é simples e conciso. Além disto, o vídeo apresenta o argumento de Cantor como uma aplicação do método de prova de teoremas em matemática chamado Método de Redução ao Absurdo inventado pelos antigos matemáticos gregos. Este método é utilizado, por exemplo, para demonstrar que a raiz quadrada de 2 é um número irracional (veja por exemplo o vídeo A razão dos Irracionais onde isto é demonstrado). Este vídeo tem o mérito de tornar simples um dos conceitos mais abstratos da mente humana: o infinito.

>>Aqui<< você pode baixar o vídeo e o seu respectivo Guia do Professor com alguns aprofundamentos de conteúdo e sugestões de atividades que podem ser utilizadas antes ou depois a exibição do vídeo.

A aula 03 do curso de Análise Real abordou as ideias relativas a sistemas de numeração. O Prof. Giraldo apresentou diversos sistemas e algumas de suas peculiaridades. Neste post, trago exemplos de pesquisas que ampliam as opções para ensino dos sistemas de numeração, indo além dos tradicionais inca, maia, egípcio, babilônico e romano. Trazemos, especialmente, sistemas indígena-brasileiros de numeração.

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Sistema de Numeração Javé

Para o povo Javaé, em Tocantins, os números são representados pelo corpo – os dedos das mãos, os dedos dos pés, e a mão e o pé como um todo. Quando se findavam os dedos, a contagem era interrompida, se tornando “muito”, se referindo a uma grande quantidade de elementos. Assim, antigamente, os agrupamentos de unidades quantificados pelos Javaé possuíam no máximo vinte elementos, a quantidade de dedos que um ser humano possui. Os vinte elementos utilizados para a contagem eram suficientes para o povo Javaé desenvolver as atividades do dia a dia, sendo utilizados nas quantificações, divisões e medições necessárias.

Por meio das experiências vivenciadas por Gabriela Camargo Ramos e José Pedro Machado Ribeiro, no curso de Educação Intercultural da UFG, surgiram inquietações em relação à educação escolar indígena que culminaram no desenvolvimento de uma pesquisa de cunho etnográfico com o povo Javaé. A pesquisa foi realizada por meio de etapas de campo na aldeia Canoanã, localizada na Ilha do Bananal, município de Formoso do Araguaia – TO. O objetivo central do estudo consistiu na análise e compreensão dos conhecimentos etnomatemáticos presentes nos saberes e fazeres Javaé, tendo como aporte para a análise as reflexões do programa Etnomatemática, da interculturalidade, da decolonialidade e da ecologia de saberes. Neste texto são discutidos os resultados obtidos nas análises das etapas de campo, em que são apresentados conhecimentos etnomatemáticos Javaé relacionados ao sistema de numeração.

Confira o texto aqui!

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Sistema de Numeração Guarani

Os guarani são uma das mais representativas etnias indígenas das Américas, tendo, como territórios tradicionais, regiões da Bolívia, Paraguai, Argentina, Uruguai e Brasil. Eles se organizam internamente em diversos grupos semelhantes nos aspectos fundamentais de sua cultura e organizações sociopolíticas, mas diferentes no modo de falar a língua guarani, de praticar sua religião e no que diz respeito às tecnologias que aplicam na relação com o meio ambiente. A principal base de contagem Guarani é cinco e há dois motivos que justificam isso:

• Primeiro, o número de dedos de uma mão, que geralmente é cinco. Neste caso, a disposição dos dedos para contar é feita de forma a constituir pares dentro de cada mão. Isto porque e, na cultura guarani, a constituição das coisas é feita aos pares (homem-mulher; sol-lua; etc).
• Segundo, é que para fazer uma plantação de mandioca, os Guarani costumam cortar o caule em pequenas partes de maneira que cada parte é seccionada a cada grupo de cinco caroços. Depois de feita a seção, cada pedaço do caule é enterrado. Nesse contexto, é recorrente a prática de contar em grupos de cinco elementos, o que justifica a base cinco.

Na aula passada, vimos que a contagem primeira precursora das ideias numérias, que nos leva diretamente ao conjunto dos números naturais. Aprendemos, ainda, que essa passagem se dá por meio do processo de abstração (perda de características ou desconsideração). Nesse processo, surgiu o debate sobre a unidade e o Prof. Giraldo disse que nossa definição de unidade pode variar em diferentes culturas e contextos. Fiquei pensando sobre isso…

Na mesma semana, fui a um restaurante japonês e, lá, perdi ao garçom três unidades de um produto novo que havia sido lançado. Depois de um tempo, o garçom me trouxe 12 sushis, o que me levou ao questioná-lo “não pedi apenas três unidades?”. Ele, então, respondeu: “sim, mas cada unidade vem 4 sushis iguais”. Ou seja, de novo a noção de unidade voltou a habitar minha mente. Assim, fui buscar nos anais do Congresso Brasileiro de Etnomatemática (CBEm) algumas experiências de outras culturas que permeassem a discussão sobre quantificação.

Com a busca nos anais do CBEm, encontrei a pesquisa de Adailton Alves da Silva, “Alguns aspectos do sistema de contagem A’uwẽ/Xavante: outros saberes, outros conhecimentos, outras soluções“, que objetivou discutir e refletir alguns aspectos do sistema de contagem dessa etnia. Segundo o trabalho, ao longo da sua história pelos cerrados brasileiros, os A’uwẽ/Xavante desenvolveram habilidades para estimar a quantidade de alimentos necessária para o grupo, o tempo gasto nas expedições de caça e pesca, o tempo dos fenômenos naturais e astronômico, etc. Esse processo de observação e sistematização dos fatos, junto aos aspectos de transcendência do grupo (como por exemplo, os mitos) constituíram a base da contagem.

Pelo mito de criação do povo, tudo começa a partir do surgimento de um grande arco-íris que dele saiu uma voz ordenando a criação de dois homens sobre a terra: Butséwawẽ e Tsa’amri. Com a reclamação de não terem companheira, a voz orientou que buscassem pedaços de galhos e foi, a partir dos referidos “pauzinhos” que surgiram duas mulheres, suas esposas. Esse mito justifica a maneira como esse povo sistematiza sua numeração, principalmente até seis.

Para contagem, os índios A’uwẽ/Xavante agrupam os dedos da mão esquerda de dois em dois, unindo também as mãos através da junção dos polegares para representar o número seis. Nesse contexto, o pesquisador Adailton da Silva afirma que a contagem está estruturada mais culturalmente do que aritmeticamente. Curioso, né? Ah, e apesar de o sistema ter denominação somente para os seis primeiros símbolos numéricos (1 a 6), isso não quer dizer que o povo conte apenas até seis, tá?

Pra quem quiser continuar a pesquisa nos anais do CBEm, seguem os links:

• 1º Congresso Brasileiro de Etnomatemática (São Paulo – SP, 2000)
• 2º Congresso Brasileiro de Etnomatemática (Natal – RN, 2004)
• 3° Congresso Brasileiro de Etnomatemática (Niterói – RJ, 2008)
• 4º Congresso Brasileiro de Etnomatemática (Belém – PA, 2012)
• 5º Congresso Brasileiro de Etnomatemática (Goiânia – GO, 2016)

Até mais!

Ontem tivemos a primeira aula de Análise Real e o Professor Giraldo apresentou o plano da disciplina. Durante sua exposição, ele mencionou alguns livros que poderão ajudar a estudar a pensar os conteúdos do curso. Vejam as dicas:

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Pensando no dia a dia do professor de matemática em sala de aula, o Professor Giraldo e as professoras Cydara e Letícia, abordam conceitos no ensino básico e sua fundamentação matemática. O livro apresenta a fundamentação conceitual e a história dos números naturais, aprofunda este tema expondo relações de ordem, as construções dos números naturais, a noção de infinto e, por fim, discute os aspectos mais importantes sobre o tópico na escola como os fundamentos conceituais dos números naturais e a escola básica; as operações elementares, seu contexto, interpretações e significados; e as operações elementares: diversificando algoritmos. Para adquiri-lo, clique aqui.

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Nesta obra, Jamil Ferreira faz uma introdução do método axiomático e realiza uma construção rigorosa dos conjuntos numéricos vistos no ensino básico – dos números naturais aos complexos. Uma das vantagens é que o autor compara a abordagem elementar do conceito de número, estudada no ensino fundamental e médio, com as construções que expõe no livro. Para isso, comenta o processo histórico e apresenta matemáticos que buscaram os fundamentos da matemática, especialmente a partir do cálculo diferencial e integral de Newton e Leibniz. Para comprá-lo, clique aqui.